diff options
| -rw-r--r-- | week7/camil/BewijsMeppenEnTippen.icl | 79 |
1 files changed, 79 insertions, 0 deletions
diff --git a/week7/camil/BewijsMeppenEnTippen.icl b/week7/camil/BewijsMeppenEnTippen.icl new file mode 100644 index 0000000..1e8d91c --- /dev/null +++ b/week7/camil/BewijsMeppenEnTippen.icl @@ -0,0 +1,79 @@ +Zij gegeven:
+
+:: BTree a = Tip a | Bin (BTree a) (BTree a)
+
+map :: (a -> b) [a] -> [b]
+map f [] = [] (1.)
+map f [x:xs] = [f x : map f xs] (2.)
+
+mapbtree :: (a -> b) (BTree a) -> BTree b
+mapbtree f (Tip a) = Tip (f a) (3.)
+mapbtree f (Bin t1 t2) = Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2) (4.)
+
+foldbtree :: (a a -> a) (BTree a) -> a
+foldbtree f (Tip x) = x (5.)
+foldbtree f (Bin t1 t2) = f (foldbtree f t1) (foldbtree f t2) (6.)
+
+tips :: (BTree a) -> [a]
+tips t = foldbtree (++) (mapbtree unit t) (7.)
+
+unit :: a -> [a]
+unit x = [x] (8.)
+
+
+Te bewijzen:
+ voor alle functies f, voor alle eindige bomen t:
+
+ map f (tips t) = tips (mapbtree f t)
+
+Bewijs:
+ Met inductie over t.
+
+ Inductiebasis: stel t = Tip a.
+ Dan hebben we:
+
+ map f (tips t) // definitie tips (7)
+ = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit t)) // aanname t = Tip a
+ = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit (Tip a))) // definitie mapbtree (3)
+ = map f (foldbtree (++) (Tip unit a)) // definitie foldbtree (5)
+ = map f (unit a) // definitie unit (8)
+ = map f [a] // herschrijven lijst
+ = map f [a:[]] // definitie map (2)
+ = [f a : map f []] // definitie map (1)
+ = [f a : []] // herschrijven lijst
+ = [f a] // definitie unit (8)
+ = unit (f a) // definitie foldbtree (5)
+ = foldbtree (++) (Tip (unit (f a))) // definitie mapbtree (3)
+ = foldbtree (++) (mapbtree unit (Tip (f a))) // definitie tips (7)
+ = tips (Tip (f a)) // definitie mapbtree (3)
+ = tips (mapbtree f (Tip a)) // aanname t = Tip a
+ = tips (mapbtree f t)
+
+ Dus de stelling geldt voor t = Tip a.
+
+ Inductiestap: laten we aannemen dat
+ map f (tips t) = tips (mapbtree f t)
+ voor alle f en zekere t=t1,t=t2 (inductiehypothese).
+ Dan hebben we:
+
+ map f (tips (Bin t1 t2)) // definitie tips (7)
+ = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit (Bin t1 t2))) // definitie mapbtree (4)
+ = map f (foldbtree (++) (Bin (mapbtree unit t1) (mapbtree unit t2))) // definitie foldbtree (6)
+ = map f ((++) (foldbtree (++) (mapbtree unit t1)) (foldbtree (++) (mapbtree unit t2))) // definitie tips (7)
+ = map f ((++) (tips t1) (tips t2)) // 9.4.1
+ = (map f (tips t1)) ++ (map f (tips t2)) // inductiehypothese
+ = (tips (mapbtree f t1)) ++ (tips (mapbtree f t2)) // definitie tips (7)
+ = (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t1))) ++ (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t2))) // herschrijven infixnotatie
+ = (++) (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t1))) (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t2))) // definitie foldbtree (6)
+ = foldbtree (++) (Bin (mapbtree unit (f t1)) (mapbtree unit (f t2))) // definitie mapbtree (4)
+ = foldbtree (++) (mapbtree unit (Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2))) // definitie tips (7)
+ = tips (Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2)) // definitie mapbtree (4)
+ = tips (mapbtree f (Bin t1 t2))
+
+ Conclusie:
+ We hebben laten zien dat de stelling geldt voor elke f met t = Tip a. Vervolgens hebben we laten zien dat als de stelling geldt voor elke f met t=t1 of t=t2, de stelling óók geldt voor elke f met t = Bin t1 t2.
+ Met het principe van inductie volgt nu
+
+ map f (tips t) = tips (mapbtree f t)
+
+ voor alle functies f en alle eindige bomen t.
\ No newline at end of file |