// Mart Lubbers, s4109503
// Camil Staps, s4498062

Zij gegeven:

:: BTree a              = Tip a | Bin (BTree a) (BTree a)

map                     :: (a -> b) [a] -> [b]
map f []                = []                                    (1.)
map f [x:xs]            = [f x : map f xs]                      (2.)

mapbtree                :: (a -> b) (BTree a) -> BTree b
mapbtree f (Tip a)      = Tip (f a)                             (3.)
mapbtree f (Bin t1 t2)  = Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2)   (4.)

foldbtree               :: (a a -> a) (BTree a) -> a
foldbtree f (Tip x)     = x                                     (5.)
foldbtree f (Bin t1 t2) = f (foldbtree f t1) (foldbtree f t2)   (6.)

tips                    :: (BTree a) -> [a]
tips t                  = foldbtree (++) (mapbtree unit t)      (7.)

unit                    :: a -> [a]
unit x                  = [x]                                   (8.)


Te bewijzen:
    voor alle functies f, voor alle eindige bomen t:
    
        map f (tips t) = tips (mapbtree f t)

Bewijs:
    Met inductie over t.

    Inductiebasis: stel t = Tip a.
    Dan hebben we:

        map f (tips t)                                          // definitie tips (7)
        = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit t))              // aanname t = Tip a
        = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit (Tip a)))        // definitie mapbtree (3)
        = map f (foldbtree (++) (Tip unit a))                   // definitie foldbtree (5)
        = map f (unit a)                                        // definitie unit (8)
        = map f [a]                                             // herschrijven lijst
        = map f [a:[]]                                          // definitie map (2)
        = [f a : map f []]                                      // definitie map (1)
        = [f a : []]                                            // herschrijven lijst
        = [f a]                                                 // definitie unit (8)
        = unit (f a)                                            // definitie foldbtree (5)
        = foldbtree (++) (Tip (unit (f a)))                     // definitie mapbtree (3)
        = foldbtree (++) (mapbtree unit (Tip (f a)))            // definitie tips (7)
        = tips (Tip (f a))                                      // definitie mapbtree (3)
        = tips (mapbtree f (Tip a))                             // aanname t = Tip a
        = tips (mapbtree f t)

    Dus de stelling geldt voor t = Tip a.

    Inductiestap: laten we aannemen dat 
        map f (tips t) = tips (mapbtree f t)
    voor alle f en zekere t=t1,t=t2 (inductiehypothese). 
    Dan hebben we:

        map f (tips (Bin t1 t2))                                                                    // definitie tips (7)
        = map f (foldbtree (++) (mapbtree unit (Bin t1 t2)))                                        // definitie mapbtree (4)
        = map f (foldbtree (++) (Bin (mapbtree unit t1) (mapbtree unit t2)))                        // definitie foldbtree (6)
        = map f ((++) (foldbtree (++) (mapbtree unit t1)) (foldbtree (++) (mapbtree unit t2)))      // definitie tips (7)
        = map f ((++) (tips t1) (tips t2))                                                          // 9.4.1
        = (map f (tips t1)) ++ (map f (tips t2))                                                    // inductiehypothese
        = (tips (mapbtree f t1)) ++ (tips (mapbtree f t2))                                          // definitie tips (7)
        = (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t1))) ++ (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t2)))        // herschrijven infixnotatie
        = (++) (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t1))) (foldbtree (++) (mapbtree unit (f t2)))      // definitie foldbtree (6)
        = foldbtree (++) (Bin (mapbtree unit (f t1)) (mapbtree unit (f t2)))                        // definitie mapbtree (4)
        = foldbtree (++) (mapbtree unit (Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2)))                      // definitie tips (7)
        = tips (Bin (mapbtree f t1) (mapbtree f t2))                                                // definitie mapbtree (4)
        = tips (mapbtree f (Bin t1 t2))

    Conclusie:
    We hebben laten zien dat de stelling geldt voor elke f met t = Tip a. Vervolgens hebben we laten zien dat als de stelling geldt voor elke f met t=t1 of t=t2, de stelling óók geldt voor elke f met t = Bin t1 t2. 
    Met het principe van inductie volgt nu

        map f (tips t) = tips (mapbtree f t)

    voor alle functies f en alle eindige bomen t.